在日常应用中，文本比较是一个比较常见的问题。文本比较算法也是一个老生常谈的话题。

文本比较的核心就是比较两个给定的文本（可以是字节流等）之间的差异。目前，主流的比 较文本之间的差异主要有两大类。一类是基于编辑距离 （Edit Distance）的，例如LD算法。 一类是基于最长公共子串的（Longest Common Subsequence），例如Needleman/Wunsch算法 等。

LD算法（Levenshtein Distance）又成为编辑距离算法（Edit Distance）。他是以字符串A 通过插入字符、删除字符、替换字符变成另一个字符串B，那么操作的过程的次数表示两个 字符串的差异。

例如：

字符串A：kitten
如何变成字符串
B：sitting

• 第一步：kitten——》sitten。k替换成s
• 第二步：sitten——》sittin。e替换成i
• 第三步：sittin——》sitting。在末尾插入g

故kitten和sitting的编辑距离为3

定义说明：

　　LD(A,B)表示字符串A和字符串B的编辑距离。很显然，若LD(A,B)=0表示字符串A和字符串B完全相同
　　Rev(A)表示反转字符串A
　　Len(A)表示字符串A的长度
　　A+B表示连接字符串A和字符串B
　　
　　有下面几个性质：
　　LD(A,A)=0
　　LD(A,"")=Len(A)
　　LD(A,B)=LD(B,A)
　　0≤LD(A,B)≤Max(Len(A),Len(B))
　　LD(A,B)=LD(Rev(A),Rev(B))
　　LD(A+C,B+C)=LD(A,B)
　　LD(A+B,A+C)=LD(B,C)
　　LD(A,B)≤LD(A,C)+LD(B,C)（注：像不像“三角形，两边之和大于第三边”）
　　LD(A+C,B)≤LD(A,B)+LD(B,C)

　　为了讲解计算LD(A,B)，特给予以下几个定义
　　A=a1a2……aN，表示A是由a1a2……aN这N个字符组成，Len(A)=N
　　B=b1b2……bM，表示B是由b1b2……bM这M个字符组成，Len(B)=M
　　定义LD(i,j)=LD(a1a2……ai,b1b2……bj)，其中0≤i≤N，0≤j≤M
　　故：　　LD(N,M)=LD(A,B)
　　　　　　LD(0,0)=0
　　　　　　LD(0,j)=j
　　　　　　LD(i,0)=i

　　对于1≤i≤N，1≤j≤M，有公式一
　　若ai=bj，则LD(i,j)=LD(i-1,j-1)
　　若ai≠bj，则LD(i,j)=Min(LD(i-1,j-1),LD(i-1,j),LD(i,j-1))+1

举例说明：

A=GGATCGA，
B=GAATTCAGTTA，
计算LD(A,B)

• 第一步：初始化LD矩阵

  		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
  	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
  G	1
  G	2
  A	3
  T	4
  C	5
  G	6
  A	7

• 第二步：利用上述的公式一，计算第一行

  		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
  	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
  G	1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  G	2
  A	3
  T	4
  C	5
  G	6
  A	7

• 第三步，利用上述的公示一，计算其余各行

  		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
  	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
  G	1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  G	2	1	1	2	3	4	5	6	6	7	8	9
  A	3	2	1	1	2	3	4	5	6	7	8	8
  T	4	3	2	2	1	2	3	4	5	6	7	8
  C	5	4	3	3	2	2	2	3	4	5	6	7
  G	6	5	4	4	3	3	3	3	3	4	5	6
  A	7	6	5	4	4	4	4	3	4	4	5	5

  则LD(A,B)=LD(7,11)=5

下面是LD算法的代码，用的是VB2005。代码格式修正于2012年1月6日。

Public Class clsLD
　　Private Shared mA() As Char
　　Private Shared mB() As Char

　　Public Shared Function LD(ByVal A As String, ByVal B As String) As Integer

　　　　mA = A.ToCharArray
　　　　mB = B.ToCharArray

　　　　Dim L(A.Length, B.Length) As Integer
　　　　Dim i As Integer, j As Integer

　　　　For i = 1 To A.Length
　　　　　　L(i, 0) = i
　　　　Next
　　　　For j = 1 To B.Length
　　　　　　L(0, j) = j
　　　　Next

　　　　For i = 1 To A.Length
　　　　　　For j = 1 To B.Length
　　　　　　　　If mA(i - 1) = mB(j - 1) Then
　　　　　　　　　　L(i, j) = L(i - 1, j - 1)
　　　　　　　　Else
　　　　　　　　　　L(i, j) = Min(L(i - 1, j - 1), L(i - 1, j), L(i, j - 1)) + 1
　　　　　　　　End If
　　　　　　Next
　　　　Next

　　　　Return L(A.Length, B.Length)
　　End Function

　　Public Shared Function Min(ByVal A As Integer, ByVal B As Integer, ByVal C As Integer) As Integer
　　　　Dim I As Integer = A
　　　　If I > B Then I = B
　　　　If I > C Then I = C
　　　　Return I
　　End Function
End Class

这个LD算法时间复杂度为O(MN)，空间复杂度为O(MN)，如果进行优化的话，空间复杂度可以 为O(M)，优化的代码这里不再详述了。参看“计算字符串的相似度（VB2005）”

我们往往不仅仅是计算出字符串A和字符串B的编辑距离，还要能得出他们的匹配结果。

以上面为例A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，LD(A,B)=5

他们的匹配为：

A：GGA_TCG__A
B：GAATTCAGTTA

如上面所示，蓝色表示完全匹配，黑色表示编辑操作，_{表示插入字符或者是删除字符操作}。

如上面所示，黑色字符有5个，表示编辑距离为5。

利用上面的LD矩阵，通过回溯，能找到匹配字串

• 第一步：定位在矩阵的右下角　　

  		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
  	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
  G	1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  G	2	1	1	2	3	4	5	6	6	7	8	9
  A	3	2	1	1	2	3	4	5	6	7	8	8
  T	4	3	2	2	1	2	3	4	5	6	7	8
  C	5	4	3	3	2	2	2	3	4	5	6	7
  G	6	5	4	4	3	3	3	3	3	4	5	6
  A	7	6	5	4	4	4	4	3	4	4	5	5

• 第二步：回溯单元格，至矩阵的左上角

　若ai=bj，则回溯到左上角单元格

　若ai≠bj，回溯到左上角、上边、左边中值最小的单元格，若有相同最小值的单元格，优 先级按照左上角、上边、左边的顺序

若当前单元格是在矩阵的第一行，则回溯至左边的单元格 若当前单元格是在矩阵的第一列，则回溯至上边的单元格

依照上面的回溯法则，回溯到矩阵的左上角 　

• 第三步：根据回溯路径，写出匹配字串

    若回溯到左上角单元格，将ai添加到匹配字串A，将bj添加到匹配字串B
  　若回溯到上边单元格，将ai添加到匹配字串A，将_{添加到匹配字串B}
  　若回溯到左边单元格，将_{添加到匹配字串A}，将bj添加到匹配字串B
  　搜索晚整个匹配路径，匹配字串也就完成了
  

从上面可以看出，LD算法在不需要计算出匹配字串的话，时间复杂度为O(MN)，空间复杂度 经优化后为O(M)

不过，如果要计算匹配字符串的话，时间复杂度为O(MN)，空间复杂度由于需要利用LD矩阵 计算匹配路径，故空间复杂度仍然为O(MN)。这个 在两个字符串都比较短小的情况下，能获 得不错的性能。不过，如果字符串比较长的情况下，就需要极大的空间存放矩阵。例如：两 个字符串都是20000字符， 则LD矩阵的大小为20000*20000*2=800000000Byte=800MB。呵呵， 这是什么概念？故，在比较长字符串的时候，还有其他性能 更好的算法。留待后文详述。